人气排行榜揭秘里奇流：庞加莱猜想的谜底
近日，中国科学技术大学几何与物理研究中心创始主任陈秀雄教授与王兵教授在国际知名数学期刊《微分几何学杂志》上发表了关于高维凯勒里奇流收敛性的本文。解决了几何分析领域二十余年悬而未决的核心猜想，并取得了重大进展。菲尔兹奖得主唐纳森也次在媒体和文章中称赞此文为几何领域近年来的重大突破。
那么，为此做出巨大贡献的里奇流是什么？让我们来了解一下。
在介绍里奇流之前，我们先来了解一下什么是微分几何学。微分几何学起源于17世纪，最早研究内容是平曲线的曲率、曲线的包络等。在18世纪，随着欧拉对微分几何学的奠基，以及蒙日、梅斯尼埃、拉格朗日等人对它的发展，微分几何的研主题开始从平面曲线的研究扩展到空间曲线和曲面理论的研究，特别是关于曲面理论的研究，积累了诸如曲面的曲率、可展曲面、曲面上的测、极小曲面等方面的研究成果。这些曲面理论的成果为高斯进入微分几何学提供了基本的研究问题和工具，并为高斯提出内蕴微分几何学打下基础。在整个微分几何学的发展阶段，诞生了很多研究工具，里奇流就是其中之一。
二、几何分析工具——里奇流
>里奇流是一种描述空间演化的微分几何学研究工具。1982年由哈密尔顿在文献中首先引入，在文献中，哈密尔顿利用里奇流，分别分类了具有正奇曲率的3维流形和具有正曲率算子的4维流形。1993年，哈密尔顿又在文献中引入了里奇流手术，并且提出了解决庞加莱猜想和几何化猜想提纲。在微分几何里，里奇流是一个内蕴的几何流。它是模仿热扩散的方式在黎曼流形上变化其度量，去掉度量的非正则化，最终里奇曲率流将到一个高斯曲率处处相等的黎曼度量。三、里奇流的应用
里奇流最初由哈密尔顿引入以研究具有正里奇曲率的致3维流形。而在经过许多数学家数十年的研究后，里奇流现已被广泛用于研究有关流形的拓扑，几何和复杂结构。特别是，哈密尔顿过去的基础工作以及佩雷尔曼对庞加莱猜想的证明，使里奇流成为了几何分析中最复杂，功能最强大的工具之一，在为著名的庞加莱猜想提供了重解决方案后，现还被中国数学家用来解决了哈密尔顿-田猜想和偏零阶估计猜想，这些均为几何分析领域的核心猜想。
四、分几何发展对我们生活的影响
微分几何学自17世纪起源以来，便对很多学科的发展产生了巨大的推动作用，在我们的日常生活中更处处可见。它是一种可用来研究空间几何的学科，大到宇宙膨胀，小到热胀冷缩，诸多自然现象都可以归结到空间演化。它的发展对于我们的生响巨大，人工智能、机器人和虚拟现实等现代技术，以及物理学中著名的广义相对论和量子场论等，都是因微分几何才得以被推进和发展说，微分几何即使在今天也发挥着重要的作用，并将更加深远地影响我们的未来。
参考资料： [1]中国科大几何与物理中心团队在里奇流研究中取得重大突破.中国科学术大学.2020.11.4 [2]我国攻克数学难题历时11年证明微分几何学核心猜想.央广网.2020.11.9 [3]刘建新.从高斯到黎曼的内蕴微分几何学发展[D].西北大学,2018. [4]我国数学家成功证明微分几何学两大核心猜想.新华网.2020.11.9 [5]刘佳伟.凯勒流形上带有锥奇性的凯勒—里奇流].中国科学技术大学,2015. [6]于晓康.图的曲面嵌入和应研究[D].山东大学,2012. 7]CaoHD,ChenBL,ZhuXP.RecentDevelopmentsonHamiltonsRicciflow[J].SurveysinDifferentialGeometry,2007,12(1):47-112. [8]穿越11年的数学长跑：寻找那颗最完美的鹅卵石.新华网.2020.11.16
庞加莱猜想到底是什么
庞加莱是法国数学家，1854年4月29日生于南锡，1912年7月17日卒于巴黎。 庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。 庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传。 他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。 他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。 庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。 他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。 庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。 庞加莱的童年主要接受母亲的教育。 他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。 但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的入。 尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。 当然，剧烈的运动他是无法进行。 庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。 他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。 他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。 他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。 庞加莱l862年进入南锡中学读书。 初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。 对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。 从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。 这种习惯一直保持终身。 1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。 法国被战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。 为了了解时局，他很快学会了德文。 他通过亲眼看到的德军的暴行，使他成了一个炽热的爱国者。 1871年3月18日，巴黎无产者举行了武装起义，普法的反动派又很快联合起来扑灭了革命烈火，庞加莱又继续上学了。 1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而使他于1873年被高等二科学校作第一名录取。 据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。 高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。 1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。 但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。 1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了博士学位。 然后到卡昂大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直到去世。 这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。 庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。 他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。 他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。 他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。 1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明)。 同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。 他又是多复变函数论的先驱者之一。 庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。 他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。 他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系，可以判定解的稳定性。 1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。 他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。 这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。 庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。 他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。 庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。 他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。 他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。 他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。 庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。 1892年他发表勒第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。 他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关连系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。 庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。 他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。 庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。 他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。 他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。 他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。 第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。 证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。 还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。 庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。 他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。 庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。 他是约定主义的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。 在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。 这使他成为直觉主义的先驱者之一。 1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为l0000金克朗的鲍尔约奖。 这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。 由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。 1906年，庞加莱当选为巴黎科学院主席；1908年，他被选为法国科学院院士，这是一位法国科学家所能达到的最高地位。 1908年庞加莱因前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工作，但好景不长。 1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁!庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。 罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是昂利·庞加莱。 阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。 ”
庞加莱的猜想是什么?
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点.另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是.大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题.这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗. 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起.”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题.庞加莱猜想,就是其中的一个. 1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球.但1905年发现提法中有错误,并对之进行了修改,被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面.”后来,这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”. 如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想象： 我们想象这样一个房子,这个空间是一个球.或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子. 我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球形房子里.现在拿一个气球来,带到这个球形的房子里.随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）.这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以（对形状也有一定要求）.但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破.还要假设,这个气球的皮是无限薄的. 好,现在我们继续吹大这个汽球,一直吹.吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙. 我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点； 另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的. 为什么?因为,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是. 看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学推理和逻辑推理.一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终. 艰难的证明之路 2000年5月24日,美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一,这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题,经许多年仍未解决.”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励.另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全问题, 霍奇猜想（Hodge）, 黎曼假设（Riemann）,杨－米尔斯理论（Yang-Mills）,纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes,简称NS方程）,BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）. 提出这个猜想后,庞加莱一度认为自己已经证明了它.但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来.于是,拓扑学家们开始了证明它的努力.早期的证明 20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项.但突然,英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣.他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文,失之桑榆、收之东隅.但是在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特海流形.30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾（）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中. 帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家.因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”（Papa）.在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客.帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehns Lemma）而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力.” 然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却最终倒在了庞加莱猜想的证明上.在普林斯顿大学流传着一个故事.直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言
庞加莱猜想是什么?
庞加莱猜想: 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。 ”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。 庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。 如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想像： 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。 或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。 我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球型房子里。 现在拿一个汽球来，带到这个球形的房子里。 随便什么汽球都可以（其实对这个汽球是有要求的）。 这个汽球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。 但是这个汽球，我们还可以继续吹大它，而且假设汽球的皮特别结实，肯定不会被吹破。 还要假设，这个汽球的皮是无限薄的。 好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹。 吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。 看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学和逻辑推理。 一个世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。 2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会就把庞加莱猜想列为七个“千年大奖问题”之一， 克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。 另外六个“千年大奖问题”分别是： NP 完全问题， 郝治 猜想（Hodge）， 黎曼假设（Rieman ），杨－米尔斯 理论(Yang-Mills), 纳卫尔－斯托可方程（Navier-Stokes）， BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。 提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己已经证明了它。 但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。 于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。 20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。 但突然，英国数学家怀特黑德（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。 他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。 失之桑榆、收之东隅，但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。 30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。 帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。 因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。 在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。 帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehns Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。 ”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。 在普林斯顿大学流传着一个故事。 直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。 这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。 一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。 然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。 这时，事情出现了转机。 1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。 他，就是斯梅尔。 1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。 10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freed man）将证明又向前推动了一步。 在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。 但是，再向前推进的工作，又停滞了。 拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。 瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。 他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。 然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。 人们在期待一个新的工具的出现。 “就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。 因为，一个可以解决问题的工具出现了。 ”清华大学数学系主任文志英说。 可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？ 工具有了。 理查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。 虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。 1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。 丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。 1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。 “那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。 我觉得这个东西不太容易做。 没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。 ”丘成桐说，“于是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。 ” Ricci流，以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。 用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。 看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。 其中，就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。 第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。 虽然那一段时间，几乎所有的媒体都在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。 这也难怪。 绝大多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然也是大隐隐于市的模样。 1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。 1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过来。 但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。 这时，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。 其中做得最优秀的，是施皖雄。 他写出了很多非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。 提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。 一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？ 在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。 这些点，叫做奇点。 如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。 在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。 便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。
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